主题：期货投资中数学问题的研究

一、        问题重述
进行期货买卖叫期货投资，期货市场的充分发展是一个国家市场成熟的标志。目前我国的期货市场是一个发展很不充分的市场，必须要大力发展，但是期货市场是一个高风险的市场。对期货市场的风险进行研究及对期货市场风险进行评估是发展期货市场的必要条件。
请考虑以下问题：
1、对期货市场风险评价，给出允许风险区间。
2、根据你的评价标准，给出最理想的五种期货产品。
3、写一篇我国期货市场的宣传文章。

二、        问题分析
题目要求考虑的是如何分析及定量的研究期货市场的风险问题，在此我们考虑的是采用VaR方法。期货市场风险价值指的是期货合约在一个给定的置信水平(Confidence Level)和持有期间(HoldingHorizon)下，在正常的市场条件中的风险值。VaR要计算的实际上是正常情况下期货合约的预期价值与在一定置信水平下的最低价值之差。通过VaR值的计算与分析，来确定风险的大小，变化的区间。
三、        模型假设
为一随机向量，且对不同的自变量取值对应的 是相互独立的。
服从正态分布，期望值为0。
对于任何一组诸自变量取值， 有恒定的方差 。
根据市场有效性理论，认为目前我国期货市场还未达到弱型有效，即可以用历史行情预测未来走势。
四、        符号说明
q：为专家人数，
a为方程截距
分别是自变量 的斜率
为因变量回归拟和值
Y观察值与拟和值的离差为残值
表示主观指标集
，表示客观指标集
为指标 的权重
为期货种类因素集 针对指标 的模糊评价值
：当期条件变异数
：截距项，为内在的不确定水准
：过去的条件变异数
：参数，代表市场上旧消息对市场波动性的影响
：参数，代表市场上新的正面消息对市场波动性的影响
：过去的误差平方项
：代表不对称性效果，若显著不为零，即市场消息不对称

实例计算

为了确定哪种期货商品的风险值是最理想的，即哪种商品的市场风险最小，我们分别从大连商品交易所，上海商品交易所采集了豆一、玉米、豆粕、铝、铜、燃油、橡胶七种样本的2005年7月1日至2005年7月27日的数据进行VaR的风险值计算，用以评价这七种商品的风险。
以下是分别对以上几种商品的计算：

豆一：
商品名称        累计天数        日期        结算价        浮动盈亏
豆一        1        7月20日        2,871        -60
豆一        2        7月22日        2,842        -34
豆一        3        7月1日        2,858        -31
豆一        4        7月5日        2,884        -31
豆一        5        7月19日        2,931        -31
豆一        6        7月13日        2,872        -29
豆一        7        7月8日        2,882        -28
豆一        8        7月11日        2,861        -21
豆一        9        7月18日        2,962        -15
豆一        10        7月15日        2,977        -7
豆一        11        7月25日        2,836        -6
豆一        12        7月7日        2,910        -2
豆一        13        7月21日        2,876        5
豆一        14        7月27日        2,853        8
豆一        15        7月26日        2,845        9
豆一        16        7月14日        2,889        17
豆一        17        7月6日        2,912        28
豆一        18        7月12日        2,901        40
豆一        19        7月4日        2,915        57

2005年7月1日至2005年7月27日，共19个交易日，以此计算下一交易日的VaR值。
a.        计算每份合约(为计算简化，设每份合约为1吨)的平均盈亏额
计算可得该19个交易日盈亏总额为-131元。每日平均盈亏为-131/19=-6.89元，即
E（W）=-6.89元。
b.        确定 的值设置信水平C=95%，则收益低于 的天数:19*（1-95%）=0.95天，取1天。查上表可得在5%概率下的 为-60元。
c.        计算VaR

将E(W)和 的值代人式(1)，得VaR=53.11元。这表明豆一在7月28日的VaR值为53.11元。
   按以上方法逐日推算下一交易日的VaR值，从7月28日至8月23日逐日推算下一交易日的VaR值，如下表所列：
交易日序        日期        var值
1        7月28日        53.11
2        7月29日        55.38
3        8月1日        58.02
4        8月2日        59.96
5        8月3日        60.04
6        8月4日        62.67
7        8月5日        63
8        8月8日        64.01
9        8月9日        65.65
10        8月10日        68.47
11        8月11日        69.21
12        8月12日        70.96
13        8月15日        73.03
14        8月16日        77.31
15        8月17日        77.98
16        8月18日        78.44
17        8月19日        78.56
18        8月22日        79.22
19        8月23日        79.39

VaR的时间序列曲线:

从以上图、表，我们可以看出其风险值的变化，根据风险值的变化区间，判断风险的可能性。

玉米：
商品名称        累计天数        日期        结算价        浮动盈亏
玉米        1        7月13日        1,279        -18
玉米        2        7月19日        1,287        -6
玉米        3        7月25日        1,273        -6
玉米        4        7月1日        1,269        -5
玉米        5        7月14日        1,274        -5
玉米        6        7月26日        1,268        -5
玉米        7        7月20日        1,283        -4
玉米        8        7月27日        1,264        -4
玉米        9        7月21日        1,281        -2
玉米        10        7月22日        1,279        -2
玉米        11        7月4日        1,268        -1
玉米        12        7月7日        1,270        -1
玉米        13        7月15日        1,293        0
玉米        14        7月18日        1,293        0
玉米        15        7月6日        1,271        1
玉米        16        7月8日        1,271        1
玉米        17        7月5日        1,270        2
玉米        18        7月12日        1,297        5
玉米        19        7月11日        1,292        21

玉米的VaR值计算方法同豆一一致，在此不作赘述，在此仅列出从7月28日至8月23日逐日推算下一交易日的VaR值，如下表所列：
交易日序        日期        var值
1        7月28日        16.47
2        7月29日        17.11
3        8月1日        18.36
4        8月2日        18.56
5        8月3日        19.49
6        8月4日        19.57
7        8月5日        19.66
8        8月8日        19.43
9        8月9日        19.45
10        8月10日        19.84
11        8月11日        19.88
12        8月12日        20.39
13        8月15日        21.01
14        8月16日        22.12
15        8月17日        22.19
16        8月18日        22.36
17        8月19日        23.98
18        8月22日        23.55
19        8月23日        23.67

VaR的时间序列曲线:

豆粕：
商品名称        累计天数        日期        结算价        浮动盈亏
豆粕        1        7月20日        2,554        -64
豆粕        2        7月22日        2,540        -37
豆粕        3        7月8日        2,643        -24
豆粕        4        7月11日        2,623        -20
豆粕        5        7月19日        2,618        -15
豆粕        6        7月7日        2,667        -11
豆粕        7        7月13日        2,631        -9
豆粕        8        7月25日        2,535        -5
豆粕        9        7月15日        2,631        -4
豆粕        10        7月1日        2,627        -3
豆粕        11        7月18日        2,633        2
豆粕        12        7月14日        2,635        4
豆粕        13        7月27日        2,550        6
豆粕        14        7月26日        2,544        9
豆粕        15        7月5日        2,659        15
豆粕        16        7月4日        2,644        17
豆粕        17        7月12日        2,640        17
豆粕        18        7月6日        2,678        19
豆粕        19        7月21日        2,577        23

豆粕的VaR值计算方法同豆一一致，在此不作赘述，在此仅列出从7月28日至8月23日逐日推算下一交易日的VaR值，如下表所列
交易日序        日期        var值
1        7月28日        59.79
2        7月29日        62.99
3        8月1日        64.81
4        8月2日        64.69
5        8月3日        64.45
6        8月4日        65.77
7        8月5日        65.52
8        8月8日        64.98
9        8月9日        66.68
10        8月10日        67.54
11        8月11日        67.39
12        8月12日        66.21
13        8月15日        67.71
14        8月16日        69.92
15        8月17日        69.99
16        8月18日        70.38
17        8月19日        70.21
18        8月22日        70.01
19        8月23日        69.89

VaR的时间序列曲线:

交易日序        日期        var值
1        7月28日        361.05
2        7月29日        390.41
3        8月1日        398.44
4        8月2日        410.32
5        8月3日        414.56
6        8月4日        426.95
7        8月5日        428.22
8        8月8日        429.43
9        8月9日        433.79
10        8月10日        440.35
11        8月11日        444.97
12        8月12日        450.62
13        8月15日        456.65
14        8月16日        457.99
15        8月17日        458.08
16        8月18日        460.12
17        8月19日        464.38
18        8月22日        465.87
19        8月23日        467.76

VaR的时间序列曲线:

铜：
商品名称        累计天数        日期        结算价        浮动盈亏
铜        1        7月1日        34170        -440
铜        2        7月12日        34320        -280
铜        3        7月4日        33950        -220
铜        4        7月13日        34100        -220
铜        5        7月27日        35450        -210
铜        6        7月15日        34090        -80
铜        7        7月22日        34270        -80
铜        8        7月19日        34130        0
铜        9        7月6日        34280        20
铜        10        7月11日        34600        60
铜        11        7月21日        34350        60
铜        12        7月8日        34540        70
铜        13        7月14日        34170        70
铜        14        7月18日        34130        140
铜        15        7月20日        34290        160
铜        16        7月7日        34470        190
铜        17        7月26日        35660        300
铜        18        7月5日        34260        310
铜        19        7月25日        35360        1090

铜的VaR值计算方法同豆一一致，在此不作赘述，在此仅列出从7月28日至8月23日逐日推算下一交易日的VaR值，如下表所列：
交易日序        日期        var值
1        7月28日        489.47
2        7月29日        493.65
3        8月1日        499.41
4        8月2日        500.84
5        8月3日        509.77
6        8月4日        516.46
7        8月5日        522.72
8        8月8日        529.61
9        8月9日        530.44
10        8月10日        541.69
11        8月11日        544.73
12        8月12日        547.61
13        8月15日        548.79
14        8月16日        552.78
15        8月17日        554.41
16        8月18日        576.49
17        8月19日        579.9
18        8月22日        583.33
19        8月23日        585.92

VaR的时间序列曲线:

通过以上七类商品的VaR值的计算，我们可以发现其风险值的变化范围。通过该实例分析可以得出以下结论:风险应与收益成正比，风险越大，收益越大。而同时，在这些商品中我们能够发现其中最理想的五类商品是豆一、玉米、橡胶、铝、铜。
六、        模型的改进
模型的改经是用多元回归分析，指数平滑预测，模糊多指标评价方法。首先用指数平滑法预测将来期货的收盘价格、和关于其他期货相关的参数，然后可以将期货交易的那些因素看成一些参数，就可以用多元回归分析得到相关的数据，最总可以用模糊多指标评价方法选择比较好的几种期货。
  多元回归
含有两个以上变量的回归分析和相关分析称为多元回归分析（multiple Regression Analysis）和多种相关分析（Multiple Correlation Analysis），又称作复合回归和复相关分析。从理论上讲，多元回归分析和多重相关分析只是简单回归分析和相关分析的延伸。然而，各个变量之间的可能存在的协变关系使得多元回归分析更为微妙、复杂。
1、        多元回归模型和拟和的多元回归方程
含有k个自变量 总体回归模式为：

公式中 都是总体回归模型的参数，其中 表示截距，所以 表示所以自变量的斜率， 是诸X以外其他所以因素对Y值的总和影响，即随机误差。关于随机误差 ，有以下3个假设：
a）、 为一随机向量，且对不同的自变量取值对应的 是相互独立的。
b）、 服从正态分布，期望值为0。
c）、对于任何一组诸自变量取值， 有恒定的方差 。
关于诸自变量则假定他们之间不能高度相关，即不能有共线性。
给予上述假设前提，相应的总体多元回归方程为：

是诸X取特定值时Y的期望值，即条件平均数。
（1)、多元线性回归方程的拟和：
样本多元线性回归方程是：

公式中a为方程截距， 分别是自变量 的斜率。 为因变量回归拟和值。Y观察值与拟和值的离差为惨值，有：

仍然是最小二乘数拟和样本回归方程，得到如下正规方程组：

以上联立方程组含有（k＋1）个方程，右边共有（k+1）项，每项含有一个待定系数 。解此方程组，可得诸回归方程。
二个子变量的求解：
我们可以从含有两个自变量的回归分析来说明多元回归的一般特征。此时总体回归方程为：

 相应的样本回归方程为：
     
     样本中的含有n对观察值，每组数据都含有Y，X1和X23个变量的观察值。简单回归的散点图对应与1个二维平面坐标系，而含有两个自变量的回归的散点图对应与一个三维立体坐标系。简单回归方程表示平面坐标系内一直线，而含有两个自变量的回归方程表示立体坐标系内的个平面，如图所示。这个平面称拟和平面，它含有与Y轴的截距a，沿X1轴的斜率b1，和沿X2轴的斜率b2。a,b1,b2这3个回归系数通过解正规方程组：

得出。

    图中的拟和平面上的每个圆点都代表由一组Y，X1,X2观察值确定的散点，拟和平面内的每个圆点，代表由一组X1，X2值与将它们代入回归方程后所得 值共同确定的拟和点。对应圆点间的连线垂直与平面X1OX2，通常不垂直与拟和平面。连线段的长度相当于残值的绝对值|e|。观察值圆点在拟和平面之上方时，其残值为正，反之则残值为负。通过最小二乘数拟和的回归方程平面，确保残值的平方和最小。
    截距a，表示拟和平面与Y轴交点的Y轴坐标值，即是X1＝X2＝0时，Y的拟和值。
    斜率b1表示当X2保持不变时，X1每增加（火减少）一个单位，Y拟和值增加（或减少）的单位数。设有两组自变量值（X1＝x1，X2＝x2）和（X1＝x1+1，X2＝x2＋1）。
第一个y拟和值是：

    第二个拟和值是：

从第一组自变量值推导第二组自变量的过程中，Y的拟和值的增量是：

同理，对于另一个也可以作出类似的解释：b2表示，当x1保持不变时，x2每增加（或减少）1个单位， 所增加（或减少）的单位数。
（2）估计标准误
多元回归分析中的估计标准误是关于各组观察值数据散点离散与回归平面的描述量数，记为 。它的平方数是总体随机误差 。估计标准误的定义公式为：

（3）复判定系数和复相关系数
     复判定系数是简单判定系数定义的直接延伸，它是拟和多元回归方程之后计量k个自变量所解释的变差中的比重，以刻画回归方程的拟和效果，用 R2 表示复判定系数，以区别 表示的简单判定系数。复判定系数的定义公式为：

经调整复判定系数能平抑方程自变量数码对接好似作用的夸大，在复相关和复回归中使用的机会多。多调整的多重判定系数的公式是：

   由于计算复判定系数是在得到回归方程后。所以能够使用回归系数及其中间结果，计算出 ，然后得到 。也可以用下述公式计算（未调整）的判定系数。

复关系系数：

（4）应用多元回归方程进行响应变量的估计
给定诸自变量的一组特定值，可以对响应变量进行点估计和区间估计，其原理与简单回归方程分析中的响应变量估计一致，只是计算较为繁复，通常都是使用SAS,SPSS或Minitab等转软件实现。
（5）多元回归方程的单检验和总检验
从总体中随机抽取一个样本，根据样本数据拟和多元回归方程，必须经过显著性检验，才能对总体的回归关系作出结论。只是多元回归分析的显著性检验涉及的问题较简单回归复杂。一方面要对每一个解释变量的显著性分别进行检验，另一方面还要对回归方程整体的显著性进行检验。前者称为单检验，后者称为总检验。
单检验针对一系列的假设对子进行检验

检验统计量仍然是：

拒绝零架设的条件是  ，或者根据P值决定拒绝还是接受零假设。
多元回归方程的总检验的零假设和备假设分别为：

     并非所有的 都为零
如果不能拒绝H0,则做出Y与诸X不存在显著回归的结论，或者说索尼和杨本复回归方程在总体上没有意义。反之，如果拒绝H0，则做出Y与诸X之间存在显著回归的结论，即承认所拟合样本复回归方程在总体上有一定的显著性。
检验上述H0的统计量是F，计算公式是：

式中：
MSR是回归均方和，即回归平方和SSR被其自由度k所除之商；
MSE是误差均方和，即误差平方和SSE被其自由度(n-k-1)所除之商。
SST=SSR+SSE,用另一种形式写出，即

现在再看与平方和相联系的自由度的关系式。总平方和的自由度是（n-1）,回归平方和的自由度是k，误差平方和的自由度式（n-k-1）。三者关系是：
n-1=k+[n-(k+1)]
    这就是与平方和分割相对应的总自由度的分割。