主题：期货投资中数学问题的研究

时间序列模型
    分析时间序列的一个主要目的是为了预测。时间序列这里采用指数平滑模型。
指数平滑预测法：
（1）、指数平滑法的基本理论：
根据平滑次数不同，指数平滑法分为：一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等。但它们的基本思想都是：预测值是以前观测值的加权和，且对不同的数据给予不同的权，新数据给较大的权，旧数据给较小的权。
移动平均法的预测值实质上是以前观测值的加权和，且对不同时期的数据给予相同的加权。这往往不符合实际情况。指数平滑法则对移动平均法进行了改进和发展，其应用较为广泛。
（2）、应用一次指数平滑法得

式中  为第 t周期的一次指数平滑值；  为加权系数，0＜  ＜1。
    为了弄清指数平滑的实质，将上述公式依次展开，可得：

    由于0＜  ＜1，当  →∞时，  →0，于是上述公式变为：
                           
   由此可见  实际上是  的加权平均。加权系数分别为  ，  ，…，是按几何级数衰减的，愈近的数据，权数愈大，愈远的数据，权数愈小，且权数之和等于1，即  。因为加权系数符合指数规律，且又具有平滑数据的功能，所以称为指数平滑。
    用上述平滑值进行预测，就是一次指数平滑法。其预测模型为：
                     
    即以第t周期的一次指数平滑值作为第t+1期的预测值。
   （3）、应用二次指数平滑法得：
当时间序列没有明显的趋势变动时，使用第t周期一次指数平滑就能直接预测第t+1期之值。但当时间序列的变动出现直线趋势时，用一次指数平滑法来预测仍存在着明显的滞后偏差。因此，也需要进行修正。修正的方法也是在一次指数平滑的基础上再作二次指数平滑，利用滞后偏差的规律找出曲线的发展方向和发展趋势，然后建立直线趋势预测模型。故称为二次指数平滑法。
    设一次指数平滑为  ，则二次指数平滑  的计算公式为：
                     
    若时间序列  从某时期开始具有直线趋势，且认为未来时期亦按此直线趋势变化，则与趋势移动平均类似，可用如下的直线趋势模型来预测。
                   
    式中t为当前时期数；T为由当前时期数t到预测期的时期数；  为第t+T期的预测值；  为截距，  为斜率，其计算公式为：

（4）、加权系数的选择：
在指数平滑法中，预测成功的关键是  的选择。  的大小规定了在新预测值中新数据和原预测值所占的比例。  值愈大，新数据所占的比重就愈大，原预测值所占比重就愈小，反之亦然。
     若把一次指数平滑法的预测公式改写为：
                   
     则从上式可以看出，新预测值是根据预测误差对原预测值进行修正得到的。  的大小表明了修正的幅度。  值愈大，修正的幅度愈大，  值愈小，修正的幅度愈小。因此，  值既代表了预测模型对时间序列数据变化的反应速度，又体现了预测模型修匀误差的能力。
     在实际应用中，  值是根据时间序列的变化特性来选取的。若时间序列的波动不大，比较平稳，则  应取小一些，如0.1～0.3；若时间序列具有迅速且明显的变动倾向，则  应取大一些，如0.6～0.9。实质上，  是一个经验数据，通过多个  值进行试算比较而定，哪个  值引起的预测误差小，就采用哪个。
模糊多指标评价方法
   假设代评价的期货种类因素集为 ，根据分析，建立的评价指标集为 表示主观指标集， ，表示客观指标集， 。则期货种类的模糊多指标评价问题可以描述为：从因素集F中选择所期望的期货种类进行排序，所采用的评价信息是指标的权重向量 和模糊评价矩阵 。在这里， 为指标 的权重， 为期货种类因素集 针对指标 的模糊评价值。
    该方法的具体评价步骤描述如下：
（1）、指标权重和模糊评价矩阵的确定。
假设这里有l位专家 参与期货种类选择的评价，对于指标权重向量 ，可由专家根据表所示的语言变量形式评判给出，记专家 给出的指标权重向量为： ，其中 为语言变量形式。

关于指标权重和主观指标的语言变量与三角模糊数的对应值
序号        关于权重的语言变量        关于指标的语言变量        对应的三角形模糊数
1        很低（HD）        很差        （0，0，0.1）
2        低(D)        差        （0，0.1，0.3）
3        中低        中下        （0.1，0.3，0.5）
4        中        中        （0.3，0.5，0.7）
5        中高        中上        （0.5，0.7，0.9）
6        高        好        （0.7，0.9，1.0）
7        很高        很好        （0.9，1.0，1.0）

（2）、集结各位专家给出的指标权重向量。
将各位专家给出的指标权重向量 （k=1,2,…l）集结为群的权重向量 ，其计算公式为：
，j=1,2,….,n
式中符号 表数模糊加运算和模糊乘运算。
（3）、集结各位专家给出的主观评价矩阵
     
（4）、构建模糊评价矩阵。
     
（5）、构建规范化模糊评价矩阵。
     为了使各指标之间具有可比性，需要将评价矩阵 规范为 。
（6）、计算模糊综合评价值向量。
     依据指标评价权重向量 和评价矩阵 ，可计算出期货种类选择的模糊综合评价值向量
      由扩展原理可知， 为非线性模糊数，它可以表示为 其隶属函数为：

式中：

     
      ； ；
；
为了简化计算：，可以将 近似表示为三角形模糊数，即   。

（7）、计算模糊的排序值。
   为了对模糊综合评价值 进行排序，需要给出关于三角形模糊数的排序方法。

（8）、进行期货种类选择的排序。
    根据排序值 的大小可以进行期货种类投资的排序， 越大，相应的期货投资得到的利润可能就越大。
七、        模型的扩展和讨论
期货市场是一个典型的、复杂的非线性系统，其各个组成要素都可能出现风险或成为风险因素。从套期保值者的角度来看其核心在于能否通过基差的变化或预期基差的变化来谋取利润，以弥补现货上的亏损。所以，套期保值者除了面临投机者在期货交易中存在的价格风险、流动性风险、交割风险等，还存在品种选择风险、合约选择风险、保值数量风险等。纵观风险分析理论，从某种意义上指出了期价波动因素是期市风险的核心。正由于上述因素的存在，套期保值者应通过把握期价波动规律，尽可能地缩小现行期价与预期值之间的偏差以达到预期保值效果。在综合全面考虑套期保值业务基础上，我们提出应用人工神经网络预测期货行情走势，并以此为基础构建面向期货套期保值的决策支持系统。
*整体逻辑分析：
根据市场有效性理论，认为目前我国期货市场还未达到弱型有效，即可以用历史行情预测未来走势。在本文提出的预测方案中，为研究目的将对期货价格影响因素分为两类，第一类是常规因素，主要指供求关系所决定的长期走势，尝试应用人工神经网络根据历史行情序列预测主导行情走势；第二类是非常规因素，主要包括国家政策因素、证券委和证券会政策因素、交易所政策因素等，由用户确定修正系数，系统自动对期货价格趋势作相应调整。按套期保值业务逻辑，应用相关理论，步骤如下：
1°　应用人工神经网络专家系统对相关品种期货主导行情走势进行预测；
2°　对于不确定因素对期货价格走势的影响，用户根据自己的判断对参考数据提出修正系数，系统自动调整期货价格走势；
3°　应用马尔柯维茨组合投资模型，用历史行情时间序列估算参考的临界保值率；
4°　应用现货价与期货价相关系数分析，为合约种类的选择提供辅助决策；
5°　采用定量化算法进行入市时机分析；
6°　制订套期保值方案：套期保值方案由入市和出市两方向构成，这存在一对多或多对多的关系，并进行了盈亏临界分析、综合成本/效益分析。

*应用人工神经网络专家系统预测期货行情走势：
1、        人工神经网络基本概念
人工神经网络不需构建任何数学模型，只靠过去的经验和专家的知识来学习，通过网络学习达到其输出与期望输出相符的结果，具有自组织、自适应、自学习和容错性等特点，已经被广泛应用于处理模糊的、非线性的、含有噪声的数据，例如非线性经济预测、股市投资分析、股市建模与预测。人工神经网络本身的非线性动态系统的自我学习的特性与期货价格序列的动态性相吻合，所以此方法具有较好的适应性。BP 网络（back propagation NN)是当前应用最为广泛的一种人工神经网络模型，是典型的单向多层次前馈网络，它有输入层、隐含层和输出层，层与层之间多采用全互连方式，同层节点没有任何耦合，其拓扑结构见下图。

上图为BP网络拓扑结构
2、人工神经网络专家系统
采用上图所示的3层BP神经网络模型，构造人工神经网络专家系统，如下图所示：

上图为神经元网络专家系统结构图

①模型设计
合理确定网络层数及各网络层的神经元数是成功应用BP网络模型的关键之一。通常期货市场行情数据包括最高价、最低价、开盘价、收盘价、结算价、成交量、空盘量等，这些市场数据能较全面、客观地反映期货商品的供求变化状况和人们对期价未来走势的预期。如何将它们有机地结合起来用于期价预测呢？因此，输入层对应历史行情序列，神经元个数为7个，分别表示上述7类行情数据。输出层的神经元个数为1，表示需要预测的结算平均价。由于Cybenko和Fanahashi已从理论上证明: 具有一个隐含层（假设具有足够隐含层单元数）的神经网络能够以任意精度表示任何连续函数。因此，选取隐含层数为一层。隐含层单元数的选择则是一个十分复杂的问题，如果数目太少，会降低神经网络的容错性，训练不出理想的结果，但如果数目过多，将使网络训练时间急剧增加，且可能记住训练中没有意义的信息，造成网络难以分辨数据中的真正模式。诚然, 隐含层单元数与输入输出单元数、训练样本及样本数、问题的要求都有直接的关系。模型中将隐含层单元数、样本数、样本截止日期等设为变量, 通过动态修改变量值找出合理的模型参数。这通过系统自动计算MA PE 指标给出图形比较和选定样本中最优的模型参数值来实现。为保证收敛速度和稳定性,学习因子G取为变数, 逐渐减小, 0.95～ 0.4；动量系数0.2, 网络误差限度取为0.1。神经元的激励函数, 一般选用单调递增的有界非线性函数, 本系统中采用Sigmoid 型函数 。
②学习样本的选取
以每天的期货行情价为依据，需要3个月左右的历史行情数据。可以通过不同的导师值指导网络学习，确定相应参数后，完成对不同时期内价格走势预测。为了使数据的统计口径一致，需要对数据做如下技术处理：以n 天为单位时，往前取一系列时间段（n天）的算术平均值,预测后n天内行情走势, n = 1，2，3，…。
③ 推理机
推理机是基于神经元的信息处理过程。
隐含层神经元 的输出：

输出层神经元k 的输出：

其中 为激励函数， ， ， ， 。

④知识库
知识库主要是存放各个神经元之间连接权值。它是分布式存储的，适合于并行处理。 一个节点的信息由多个与它连接的神经元的输出信息以及连接权值合成。注意：初始化权值时，各个连接值采用不同的数值，最好在（0, 1）之间，如果初始权值相等，它们在以后运算中将始终保持相等，并且容易引起系统在学习过程中停留在误差函数的局部最小值或某稳定点或在这些之间振荡。
⑤输入、输出模式转换
实际问题输入的各数值量纲不统一，甚至用概念形式表示，所以需要进行输入、输出模式的转换使数据具有可比性。在本系统中，需要对数据进行同一化处理。
本系统尝试用人工神经网络专家系统预测期货价格走势，该模型具有较强的学习和记忆能力，可以在一定程度上模拟期货行情内在规律。并且，本系统的应用强调人机交互性，即用户的积极参与，系统需要通过大量的网络训练达到预测效果, 其它相关理论的应用也需要用户的经验加以补充，有待进一步探讨。

我们选用适用于异方差情形的方差比检验法，对历年中国三个期货市场的期货价格进行实证检验，结果表明只有上海铜达到弱式有效。说明中国三个期货市场对信息反应表现不是很好，而且市场间差别较大。这些结果表明中国期货市场在风险监管、制度建设、市场开放程度和市场主体素质等方面都有待提高。最后对中国期货市场风险管理提出了进一步的政策建议。
关于市场风险的研究从上世纪60年代以来已在不同时期的各类市场中广泛的展开了。这些研究形成和发展了不同的理论以及不同的检验方法。利用这些理论和检验方法，很多国内学者对中国的股票市场进行了分析，从一定程度上对证券市场的完善起了重要作用。但期货市场相关的实证研究还很少。如何针对中国期货市场的实际情况，应用并发展这些理论，无疑具有较高的理论意义，同时也是改善及实现我国期货市场功能的关键。根据中国现货市场的现状，目前研究期货价格或收益率的随机游走性的文章一律地用序列相关分析和游程检验，首先上述二者并不是检验随机游走的方法，而只是检验是否平稳的方法，其次二者对小样本数据的分析是缺乏说服力的。以往研究都忽视了对价格变动的异方差性的影响，异方差的存在将使很多传统的统计量的分布发生改变，从而使检验失效；以往的研究都没有检验收益率的分布特性而直接接受其为正态分布或是对数正态分布。我们可以用分形理论来验证市场的分布特性；对期货市场风险监控的研究，必须以期货市场有效性假设为依据。我们须通过实证研究分析我国期货市场的有效性，并据此分析影响期货市场风险的因素。
1、数据选取：
可以选取中国目前三个主要期货品种（上海期货交易所铜期货合约、大连商品交易所大豆期货合约、郑州商品交易所小麦期货合约）及其对应的现货和国际期货价格进行研究。

2、模型构建及说明：
合约日收益率以相邻交易日价格对数之差来表示，设第 期合约收盘价为 ，收益率为 ，则： 。
由于期货价格序列在相邻合约之间存在跳跃，所以在连接点上取其前后收益率的均值来平滑，并根据宏观经济环境的变化对收益序列进行适当的分段分析。对每一个时间序列，首先分析其基本统计特征和异方差特性分析，然后再进行随机步游检验。
学者们在利用随机步游模型研究EMH过程中发展了多种检验方法。其中用于第一类随机步游的有游程检验、迪基-富勒检验、菲利普斯-配荣检验、KPSS检验等，第二类主要有过滤检验，第三类有自相关系数检验、Ljung-Box检验和方差比检验等。我们主要用方差比检验。方差比（VARIANCE RATIO）检验法是Lo和MacKinlay于1998年提出的，基本思想是：对零自相关的序列，序列和的方差等于序列方差的和，对第三类随机步游而言，它只要求增量不相关，所以其增量的方差将是时间间隔的线性函数，不同间隔增量的方差除以它的间隔将是单位间隔增量方差的无偏估计。

ANN-GJR-GARCH 模型用于高频率期货日内资料的风险值绩效评估：我们除使用日内(intra-day)每10 秒的高频率资料进行分析外，并尝试以不同的波动性模型，如GARCH、GJR-GARCH、ANN-GJR-GARCH 模型来求算VaR，最后并利用平均值、变异数百分比、风
险值间距的平均数、相对均方根偏差和误差效度来评估不同波动性VaR 模型的绩效。经由GARCH 模型、GJR-GARCH 模型、ANN-GJR-GARCH 模型估算出之波动性，其日内丛聚现象大致相同，但将日内资料与日资料比较后，发现日内资料之丛聚现象不明显，且其波动跳动日资料来得小，显示使用日资料做决策时，风险较高。比较不同GARCH-type-VaR 模型的稳定性，发现大部分的VaR 绩效评估中，利用ANN-GJR-GARCH-VaR 模型估算最不稳定，而GARCH-VaR 模型最为稳定。最后亦使用Wilcoxon符号等级检定予以验证，在五种评估指针中三种模型相比较后，大部分结果为无显著差异，而在风险间距的平均数，RMS 和误差效度的风险评估方法中，皆是以GARCH-VaR 模型的表现较好。
有关国内外风险值的相关文献不胜枚举，主要有应用不同的波动率模型( 如GARCH 、IGARCH,GARCH-t 、EGARCH 、GJR-GARCH、NGARCH、QGARCH、VGARCH、SSRM(simple switching-regimemodel)、SRBM (switching-regime beta model )、以及不同的风险值模型，历史价格仿真法、等权移动平均法、加权移动平均法求算不同信赖水平的风险值。
实证设计及步骤：
步骤1：将每一种契约内所有的交易价格按照时间先后排序，并计算出报酬率。
步骤2：利用Augmented Dickey-Fuller(ADF,1979)及Phillips and Perron(PP,1988)检定上述的报酬率时间序列是否具单根(unit roots)，若具单根性质，则取差分至稳定(stationary)为止。
步骤3: 利用ARCH-LM-Test 检定此报酬率变异数是否为条件变异数。
步骤4: 藉由GARCH-type 模型求算出每种契约的波动率(σ)。
步骤5：当信赖水平为95%时，累积机率值(Z)为1.65；当信赖水平为99%时，累积机率值为2.33。以信赖水平为99%为例，则VaR=2.33×σ×契约价值×
步骤6 :利用风险值绩效指标进行不同波动率风险值的评估。
步骤7:利用无母数的Wilcoxon符号层级检定不同风险值模型间是否存在显著差异。

波动率模型：
我们应用三种波动率模型，简述如下：
（一）        GARCH模型
Bollerslev认为条件变异数不仅会受到前期误差平方项影响，也会受到过去的条件变异数所影响，因此将ARCH 模型予以一般化，提出GARCH 模型。模型如下所示：

其中, ：当期条件变异数
      ：截距项，为内在的不确定水准
      ：过去的条件变异数
      ：参数，代表市场上旧消息对市场波动性的影响
      ：参数，代表市场上新的正面消息对市场波动性的影响
      ：过去的误差平方项
这模型能够使异质变变异数在模型结构的设定上，具有更的弹性,但也存在一些缺失。即：
1、当期报酬与未来报酬的波动，彼此之间呈现负相关，但在GARCH 模型中并无此项关系的假设。
2、GARCH 模型对于参数的估计加以限制，因此可能会破坏条件变异数变动的过程。
3、GARCH 模型无法阐述当有冲击(shock)时，条件变异数是否持续性的过程。
（二）GJR-GARCH 模型
由Glosten,Jagannathan and Runkle提出，其模型的特点为：
1、在条件变异数内可描述季节性的型态。
2、正向及负向的报酬对于条件变异数的影响不相同。
模型如下式：

其中, ：当期条件变异数
      ：截距项，为内在的不确定水准
      ：过去的条件变异数
      ：参数，代表市场上旧消息对市场波动性的影响
      ：参数，代表市场上新的正面消息对市场波动性的影响
      ：过去的误差平方项
      ：代表不对称性效果，若显著不为零，即市场消息不对称

（三）ANN-GJR-GARCH 模型
由Donaldson 和Kamstra采用日资料，用来预测股票报酬波动性所建立的模型。在报酬波动性的研究中，每个变数与变数之间并不一定只存在线性的关系，亦有非线性的关系，为了将其非线性的相关性描述出来，于是使用类神经网络。
模型如下：

其中, ：当期条件变异数
      ：截距项，为内在的不确定水准
      ：过去的条件变异数
      ：参数，代表市场上旧消息对市场波动性的影响
      ：参数，代表市场上新的正面消息对市场波动性的影响
      ：过去的误差平方项
      ：代表不对称性效果，若显著不为零，即市场消息不对称
在ANN-GJR-GARCH 模型中主要是由类神经网络的整体精神，重新创造一个波动性模型，以 来代表整个类神经网络的过程，而此项亦为与GJR-GARCH 模型的差异所在。

风险值绩效评估模型
为比较各不同波动率风险值模型之绩效,本文采用了平均值、变异数百分比、风险值间距的平均数，相对均方根偏差(RMS)和误差效度五种绩效指标，介绍如下：
(一)        平均值(Mean，μ)
此法为求解第i个VaR 模型所估计出来的风险值平均值，若平均值的数值较其他方法高，代表此模型较保守，可利用下式式作检定。

（二）        变异数百分比(Percentage Volatility，Vol)
此法为求解第i个VaR 模型所估计出来的风险值的变异数百分比，变异数越大表示此模型越不具稳定性。利用下式作检定。

(三)风险值间距的平均数
此方法是为了改善变异数百分比法可能有的缺失，倘若预测出的风险值在一大区间剧烈波动，可能其变异数依然不大，为了改进此一问题，即以前期和本期新估计出的风险值的距离平均数为代表，计算出风险值距确的平均数后，该数值越小者，越是一个具有稳定性的风险值模型。利用下式作检定。
风险值距离平均数 /（风险值个数-1）
(四)相对均方根偏差(Root Mean Squared Relative Bias，RMS)
此法是以各风险值总合为标准，计算各风险值模型在估计期间与此标准的相对差异大。假设计算模型有n个，各估计T天VaR，RMS 表示如下：

其中,